FUNCIONES

 FUNCIÓN EXPONENCIAL 

una función exponencial es una función de la forma${\displaystyle f(x)=ab^{x}}$ en el que el argumento x se presenta como un exponente. Una función de la forma ${\displaystyle f(x)=ab^{cx+d}}$ también es una función exponencial, ya que puede reescribirse como:

${\displaystyle ab^{cx+d}=\left(ab^{d}\right)\left(b^{c}\right)^{x}.}$

Como funciones de una variable real, las funciones exponenciales se caracterizan únicamente por el hecho de que la tasa de crecimiento de dicha función (es decir, su derivada) es directamente proporcional al valor de la función. 

Un ejemplo de una función exponencial es el crecimiento de las bacterias. Algunas bacterias se duplican cada hora. Si comienzas con 1 bacteria y se duplica en cada hora, tendrás 2^x bacterias después de x horas. Esto se puede escribir como f(x) = 2^x.

 

Antes de empezar,   f(0) = 2⁰ = 1

Después de 1 hora   f(1) = 2¹ = 2

Después de 2 horas f(2) = 2² = 4

En 3 horas                f(3) = 2³ = 8

etc.

 

 

Con la definición f(x) = b^x y las restricciones de b > 0 y b ≠ 1, el dominio de la función exponencial es el conjunto de todos los números reales. El rango es el conjunto de todos los números reales positivos. La siguiente gráfica muestra f(x) = 2^x.

 

Una función exponencial, por lo tanto, permite aludir a fenómenos que crecen cada vez con más rapidez. 

FUNCIÓN LOGARÍTMICA

Las funciones logarítmicas son funciones del tipo f(x)=logax$f(x)={\log }_{a}x$, donde a$a$ (la base) es un número real mayor que cero y distinto de 1.

Las propiedades generales de la función logarítmica se deducen a partir de las de su inversa, la función exponencial. Así, se tiene que:

• La función logarítmica sólo existe para valores de x positivos, sin incluir el cero. Por tanto, su dominio es el intervalo (0,+¥).
• Las imágenes obtenidas de la aplicación de una función logarítmica corresponden a cualquier elemento del conjunto de los números reales, luego el recorrido de esta función es R.
• En el punto x = 1, la función logarítmica se anula, ya que loga 1 = 0, en cualquier base.
• La función logarítmica de la base es siempre igual a 1.
• Finalmente, la función logarítmica es continua, y es creciente para a > 1 y decreciente para a < 1.

La resolución de ecuaciones logarítmicas se basa en los mismos procedimientos utilizados en la resolución de las ecuaciones habituales. Aunque no existen métodos fijos, habitualmente se procura convertir la ecuación logarítmica en otra equivalente donde no aparezca ningún logaritmo. Para ello, se ha de intentar llegar a una situación semejante a la siguiente:

loga f (x) = loga g (x)

Entonces, se emplean los antilogaritmos para simplificar la ecuación hasta f (x) = g (x), que se resuelve por los métodos habituales.

También puede operarse en la ecuación logarítmica para obtener una ecuación equivalente del tipo:

loga f (x) = m

de donde se obtiene que f (x) = am, que sí se puede resolver de la forma habitual.