ECUACIONES CUADRATICAS

 ¿QUE SON LAS FUNCIONES CUADRATICAS?

Es aquella función que tiene la forma 𝑦 = 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 𝑐𝑜𝑛 𝑎, 𝑏 𝑦 𝑐 ∈ ℝ 𝑦 𝑎 ≠ 0 por ejemplo, 𝒇(𝒙) = 𝟐𝒙 𝟐 −𝟑𝒙 +𝟏 es una función cuadrática A las funciones cuadráticas también se les denomina funciones de segundo grado porque el mayor exponente de la variable “x” es 2.

Una ecuación de la forma 𝒂𝒙 𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄 = 𝟎 𝑐𝑜𝑛 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ ℝ 𝑦 𝑎 ≠ 0 recibe el nombre de ecuación cuadrática. Dependiendo de los valores de b y c las ecuaciones cuadráticas se pueden considerar en completas e incompletas. 

Ecuaciones cuadráticas incompletas:

Son aquellas ecuaciones donde 𝑏 = 0 ó 𝑐 = 0 

Por ejemplo:    −𝟑𝒙 𝟐 + 𝟐𝒙 = 𝟎         𝟓𝒙 𝟐 = 𝟎          𝟒𝒙 𝟐 − 𝟗 = 𝟎

Ecuaciones cuadráticas completas: 

Son aquellas ecuaciones donde 𝑎 ≠ 0 𝑏 ≠ 0 𝑐 ≠ 0 

Por ejemplo:      −𝟓𝒙 𝟐 − 𝟑𝒙+ 𝟏 = 𝟎       − 𝒙 𝟐 −𝟐𝒙 + 𝟔 = 𝟎           𝟑𝒙 𝟐 − 𝟐𝒙+ 𝟖 = 𝟎 

Resolver una ecuación cuadrática consiste en encontrar el valor o los valores de las incógnitas que hacen verdadera la igualdad, además, gráficamente, la solución de una ecuación cuadrática corresponde a los puntos de corte, si los hay, de la parábola con el eje “x”.

 Toda ecuación cuadrática puede tener dos raíces reales diferentes, dos raíces complejas diferentes o una sola raíz real.

ECUACIONES CUADRÁTICAS INCOMPLETAS 

Ecuaciones de la forma 𝒂𝒙 𝟐 = 𝟎: En este caso el procedimiento es despejar la incógnita y el resultado será: 

𝑎𝑥 2 = 0        𝑥 2 = 0        𝑥 = 0 

Por lo tanto La ecuación tiene una solución real 𝑥 = 0 

Ecuaciones de la forma 𝒂𝒙 𝟐 + 𝒃𝒙 = 𝟎: El procedimiento es aplicar el caso de factor común e igualar cada factor a cero, para despejar la variable en cada caso:

 6𝑥 2 +3𝑥 = 0         3𝑥(𝑥 + 1) = 0         3𝑥 = 0 𝑥 + 1 = 0         𝑥 = 0       𝑥 = −1  

Por lo tanto La ecuación tiene dos soluciones reales y distintas 𝑥 = 0      𝑥 = −1 

Ecuaciones de la forma 𝒂𝒙 𝟐 + 𝒄 = 𝟎: En este caso el procedimiento es despejar la incógnita y además extraer la raíz cuadrada. 

Ejemplo: 𝑥 2 + 16 = 0 

Ejemplo: 3𝑥 2 − 27 = 0        3𝑥 2 = 27        𝑥 2 = 9        𝑥 = ±√9 

Por lo tanto La ecuación tiene dos soluciones reales y distintas 𝑥 = 3      𝑥 = −3 

ECUACIONES CUADRÁTICAS COMPLETAS 

Solución por Factorización: Para resolver una ecuación cuadrática por este método, se factoriza el trinomio si es posible y se iguala a cero cada uno de los factores y se despeja la incógnita para encontrar las dos soluciones. 

Solución completando cuadrados: Este método consiste en transformar un trinomio, en un trinomio cuadrado perfecto, de la siguiente forma: 

1. Se escribe la ecuación 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 = 𝑐 

2. Sumar a ambos lados de la igualdad el término 𝑏 2 4𝑎 conociendo que "𝑎" es cuadrado perfecto 

3. Se factoriza el trinomio cuadrado perfecto y el otro lado se simplifica. 

4. Se despeja para hallar la solución.

Solución por fórmula general: Las soluciones o raíces de una ecuación cuadrática 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 donde 𝑎 ≠ 0, están dadas por: 𝑥 = −𝑏 ±√𝑏 2 − 4𝑎𝑐 /2a 

GRAFICACIÓN ECUACIONES CUADRATICAS 

La gráfica de una función cuadrática es una curva con forma de U llamada parábola. Puede ser trazada dibujando soluciones de la ecuación, encontrando el vértice y usando el eje de simetría para graficar puntos seleccionados, o encontrando las raíces y el vértice.